線形代数
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本章の概要
物理シミュレーションにおいて、線形代数は最も重要な道具の一つです。偏微分方程式の離散化、量子力学におけるハミルトニアンの対角化、データ解析における主成分分析など、あらゆる場面で行列やベクトルが現れます。
本章では、Rustを用いて線形代数の問題を数値的に解く方法を学びます。特に、多次元データと配列で導入したndarrayクレートを基礎とし、線形代数演算に特化したndarray-linalgクレートなどを活用して、効率的かつ安全なコードを記述することを目指します。
本章で扱うトピック
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- ノルム、トレース、行列式などの基本量の計算
- 逆行列と条件数
ndarray-linalgの導入
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- の数値解法
- ガウスの消去法とLU分解
- コレスキー分解（対称正定値行列の場合）
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- 固有値と固有ベクトルの計算
- べき乗法（Power Iteration）の実装
- エルミート行列の対角化
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- 疎行列（スパース行列）とは
- CSR/CSC形式
sprsクレートを用いた大規模疎行列の計算
準備
本章のサンプルコードを実行するには、Cargo.tomlに以下の依存関係を追加する必要があります（バージョンは執筆時点の目安です）。
[dependencies]
ndarray = "0.17" # またはそれ以降
ndarray-linalg = "0.18" # BLASバックエンドが必要
Warning
ndarray-linalgとBLAS
ndarray-linalgを使用するには、システムにBLAS/LAPACKライブラリ（OpenBLAS, Intel MKLなど）がインストールされている必要があります。macOSではAccelerateフレームワークが標準で利用可能ですが、執筆時点ではndarray-linalgが対応していません。 その為、各OSでOpenBLASなどを別途インストールする必要がある場合があります。
作業テーマ
作業ディレクトリは ~/rust-computational-physics-work/ からの相対パスです。
ユニットテストで確認する具体的なケースは、解析解、境界条件、許容誤差の観点からAI coding agentと相談して決めます。
| テーマ | 作業ディレクトリ | 構造化するコード | ユニットテスト演習 | 拡張演習 |
|---|---|---|---|---|
| 行列演算 | linear-algebra/matrix-ops | matmul, transpose, norm | 小さい行列の積とノルムを手計算と比較する | loop orderを変えて実行時間を比較する |
| 連立一次方程式 | linear-algebra/linear-systems | solve, residual_norm, is_square | 既知解を持つ小さい行列で残差を確認する | 複数右辺を解く例へ拡張する |
| 固有値問題 | linear-algebra/eigenvalue | power_iteration, normalize, eigen_residual | 対角行列や2x2行列で固有値を確認する | 収束履歴をCSVに出力する |
| スパース行列 | linear-algebra/sparse | build_laplacian_1d, matvec | 小さい1次元ラプラシアンを手計算と比較する | dense表現とのメモリ量を比較する |
検証と実装の観点
線形代数のコードは、計算が完了しても正しいとは限りません。既知の小さい行列で 手計算できる例を用意し、さらに大きい問題では残差や条件数を確認します。
- 行列とベクトルのshapeを最初に確認し、サイズ不一致を曖昧に扱わない。
- 連立一次方程式では、解そのものだけでなく の残差を確認する。
- 固有値問題では、正規化と の残差を確認する。
ndarray-linalgを使う場合は、BLAS/LAPACK backendとcrate versionを記録する。