常微分方程式
Important
この章を読む前に
この章を読むには、以下の章を先に読んでおく必要があります。
物理法則の多くは、時間や空間に対する変化率（微分）を含む微分方程式 (Differential Equations) として記述されます。
本章では、時間変数 の関数である に対する常微分方程式 (Ordinary Differential Equation, ODE) の初期値問題を数値的に解く手法を学びます。
本章の構成
-
オイラー法 最も単純な解法であるオイラー法を通じて、微分方程式を数値的に解く（時間発展させる）基本的な考え方を学びます。
-
ルンゲ＝クッタ法 実用的な標準手法である4次のルンゲ＝クッタ法 (RK4) を学びます。精度と計算コストのバランスが良く、最も広く使われている手法の一つです。
-
適応型刻み幅制御 誤差の大きさに応じて時間刻み を自動的に調整し、効率よく高精度な解を得る手法（ルンゲ＝クッタ＝フェールベルグ法など）を紹介します。
-
境界値問題 初期値問題とは異なり、区間の両端で条件が与えられる問題（例：両端が固定された弦の振動など）を解く「シューティング法」について触れます。
作業テーマ
作業ディレクトリは ~/rust-computational-physics-work/ からの相対パスです。
ユニットテストで確認する具体的なケースは、解析解、境界条件、許容誤差の観点からAI coding agentと相談して決めます。
| テーマ | 作業ディレクトリ | 構造化するコード | ユニットテスト演習 | 拡張演習 |
|---|---|---|---|---|
| オイラー法 | ode/euler | euler_step, integrate, max_error | 指数関数の解析解と比較する | 刻み幅ごとの誤差をCSVに出力する |
| ルンゲ＝クッタ法 | ode/rk4 | rk4_step, integrate, state_norm | RK4の刻み幅依存を確認する | Euler法との誤差比較を追加する |
| 適応型刻み幅 | ode/adaptive-step | rk_embedded_step, accept_step, next_dt | 許容誤差を変えたときの結果を確認する | rejected step数をmetadataに保存する |
| 境界値問題 | ode/boundary-value | shoot, boundary_residual, bisect_slope | 線形な境界値問題で既知解と比較する | 初期推定を変えた収束比較を追加する |
検証と実装の観点
常微分方程式の計算では、時間刻みを変えたときの収束性と、物理量の保存性を 分けて確認します。短時間で精度が高くても、長時間で保存量が大きく漂う場合があります。
- 解析解が分かる指数関数や調和振動子で、刻み幅依存の誤差を確認する。
- state、微分方程式、1 step更新、出力処理を関数やmoduleで分ける。
- energy、norm、massなど、問題に応じた保存量や単位を確認する。
- initial condition、time span、step size、toleranceを結果と一緒に保存する。