ナビエ＝ストークス方程式の基礎

流体の運動は、物理学の中でも特に複雑かつ美しい現象の一つです。 その支配方程式であるナビエ＝ストークス方程式 (Navier-Stokes Equations) は、ニュートンの運動方程式を流体（連続体）に適用することで導かれます。

支配方程式

非圧縮性（密度 が一定）のニュートン流体（粘性が一定）を考えると、支配方程式は以下の2つになります。

1. 連続の式 (質量保存則)

流体が湧き出したり消滅したりしないことを表します。非圧縮性流体では、速度場の発散がゼロになることを意味します。

ここで は流速ベクトルです。

2. ナビエ＝ストークス方程式 (運動量保存則)

流体微小要素に対する運動方程式 です。

各項の意味は以下の通りです。

• 左辺第1項 : 局所的な時間変化（非定常項）。
• 左辺第2項 : 移流項（対流項）。流体が移動することによって運ばれる運動量の変化を表します。この非線形項が流体現象の複雑さ（乱流など）の主因です。
• 右辺第1項 : 圧力勾配項。圧力差によって生じる力です。
• 右辺第2項 : 粘性項（拡散項）。流体の粘り気による摩擦力を表します。 は動粘性係数です。
• 右辺第3項 : 外力項（重力など）。

数値計算における困難

この方程式を数値的に解く上での最大の課題は、圧力 の扱いです。 状態方程式（ など）が存在する圧縮性流体とは異なり、非圧縮性流体では圧力を決定する直接的な方程式がありません。 その代わり、圧力は「連続の式 を満たすように定まる」という役割を担っています。

次節で紹介する MAC法 などの数値解法では、ポアソン方程式を解くことで、この条件を満たす圧力を計算します。

この「速度と圧力の連成」をどのように解くかが、CFD（数値流体力学）の核心部分となります。