1次元束縛状態
定常状態のシュレーディンガー方程式 を解くことは、離散化されたハミルトニアン行列の固有値問題を解くことと等価です。
- 固有値 : エネルギー準位
- 固有ベクトル : そのエネルギーに対応する定常状態の波動関数
例題：井戸型ポテンシャル
幅 の領域 内では 、外側では となる井戸型ポテンシャルを考えます。 外側のポテンシャル が有限であれば波動関数は壁の外側にわずかに染み出し、無限大であれば境界で完全にゼロとなります。
離散化する場合、境界条件として両端で波動関数がゼロ（ ）となるようにします。
固有値計算の実装（虚時間発展法）
行列の全ての固有値を求めるには高度なアルゴリズム（QR法など）が必要ですが、最小の固有値（基底状態） だけなら、ハミルトニアンを波動関数に作用させる反復法で求められます。
この節のコード例では、逆行列を明示的に解く逆べき乗法ではなく、虚時間発展法 (Imaginary Time Evolution) を使います。時間を と置き換えると、高いエネルギー成分が指数関数的に減衰するため、反復と正規化を繰り返すことで基底状態へ近づきます。
Rustコード例
use ndarray::{Array1, Array2, Axis};
use ndarray_linalg::Solve; // 連立方程式を解くために必要 (実際には ndarray-linalg 推奨)
// 注: 以下のコードは概念説明用です。
// ndarray単体には逆行列や連立方程式ソルバーが含まれていないため、
// 本格的な計算には `ndarray-linalg` クレートの導入を推奨します。
// ここでは、アルゴリズムの流れを示します。
struct QuantumSystem {
n_grid: usize,
dx: f64,
potential: Array1<f64>,
}
impl QuantumSystem {
fn new(n: usize, l: f64) -> Self {
Self {
n_grid: n,
dx: l / (n as f64),
potential: Array1::zeros(n), // 自由粒子 (V=0)
}
}
// ハミルトニアン行列とベクトルの積 H * psi を計算
fn apply_hamiltonian(&self, psi: &Array1<f64>) -> Array1<f64> {
let n = self.n_grid;
let mut h_psi = Array1::zeros(n);
let coeff = -0.5 / (self.dx * self.dx);
for i in 1..n-1 {
// H = K + V
// Kinetic part: -1/2 * (psi[i+1] - 2psi[i] + psi[i-1]) / dx^2
let kinetic = coeff * (psi[i+1] - 2.0 * psi[i] + psi[i-1]);
let potential = self.potential[i] * psi[i];
h_psi[i] = kinetic + potential;
}
h_psi
}
// レイリー商によるエネルギー期待値の計算 <psi|H|psi> / <psi|psi>
fn expected_energy(&self, psi: &Array1<f64>) -> f64 {
let h_psi = self.apply_hamiltonian(psi);
psi.dot(&h_psi) / psi.dot(psi)
}
}
// 虚時間発展法 (Imaginary Time Evolution)
// 基底状態を求めるための強力な手法。
// d/dt |psi> = -H |psi> という拡散方程式を解くと、
// 時間とともにエネルギーの高い成分が減衰し、基底状態だけが残る。
fn find_ground_state(sys: &QuantumSystem) -> Array1<f64> {
let mut psi = Array1::from_elem(sys.n_grid, 1.0); // 初期状態
let dt = 0.001; // 虚時間の刻み
// 単純なオイラー法での更新: psi(t+dt) = psi(t) - dt * H * psi(t)
// (実際には正規化が必要)
for _ in 0..10000 {
let h_psi = sys.apply_hamiltonian(&psi);
psi = &psi - &(&h_psi * dt);
// 正規化
let norm = psi.dot(&psi).sqrt();
psi.mapv_inplace(|x| x / norm);
}
psi
}
fn main() {
let sys = QuantumSystem::new(100, 1.0);
let ground_state = find_ground_state(&sys);
let energy = sys.expected_energy(&ground_state);
println!("Ground state energy: {:.4}", energy);
// 理論値 E1 = pi^2 / 2 approx 4.935 (L=1, m=1, hbar=1)
}虚時間発展法
上記のコード例では、虚時間発展法 (Imaginary Time Evolution) を使用しました。 シュレーディンガー方程式の時間を と置換すると、拡散方程式になります。
解は となり、 で最小のエネルギー を持つ項（基底状態）以外は指数関数的に減衰して消滅します。 これは基底状態を求めるための非常に汎用的で強力な手法です。