2D Ising実践演習

この演習では、2次元正方格子イジング模型を題材にして、理論的に分かっている性質、実装計画、検証を一つの流れとして扱います。いきなりコードを書かず、第1章の「AI agent を使う標準的な流れ」と同じく、まず note、次に PLAN、最後に実装とチェックへ進みます。

扱う模型は、外部磁場なし ( ) の強磁性イジング模型です。

ここでは最近接ペアに対する和、はまたは、は強磁性相互作用です。格子サイズを、スピン数を、総磁化を、単位スピンあたりの磁化をとします。

1. 厳密解ノート

まず、厳密解の導出を追う必要はありません。実装と検証に必要な性質を、自分の note にまとめます。

外部磁場なしの2次元正方格子イジング模型では、熱力学極限で臨界温度が厳密に分かっています。

したがって、

です。また、熱力学極限の自発磁化は、で

となり、ではゼロです。これは有限格子の単純な平均磁化そのものではなく、熱力学極限で対称性が破れた相を選んだときの量です。

有限サイズの分配関数は有限個の指数関数の和なので、自由エネルギーは温度の滑らかな関数です。したがって、厳密な意味での相転移の特異点はの極限で現れます。有限サイズのシミュレーションでは、磁化の変化や比熱のピークは丸まり、ピーク位置も厳密なからずれます。

2. 対称性と測定量

では、すべてのスピンを反転する変換に対してハミルトニアンは不変です。そのため、有限サイズの平衡分布ではとなり、厳密にサンプリングすれば

です。一方で、はゼロではありません。低温では分布がとの二つの山を持つため、相の大きさはではなくやで見るのが実用的です。

この演習では、以下の量を保存します。

磁化の大きさ:
磁化の2乗:
帯磁率:
比熱:
Binder parameter:

Binder parameter は次のように定義します。

Binder parameter は、全磁化で計算しても単位スピンあたりの磁化で計算しても同じ値になります。高温側では0に近づき、低温側でに近づきます。異なるのは、有限サイズ補正を除いて付近で交差します。

3. PLAN

実装前に、notes/ising-plan.md のような短い計画を書きます。 AI coding agent に依頼する場合も、最初にこの計画を出させ、人間が確認してから実装へ進みます。

最低限、次を決めます。

模型: 2次元正方格子、周期境界条件、、、
更新: 単一スピン反転の Metropolis 法
測定: エネルギー、磁化、その揺らぎ、Binder parameter に必要な量
走査: 複数のと、特にの近傍
乱数: seed、熱化 sweep 数、測定 sweep 数、測定間隔
出力: CSV と metadata。seed、、、sweep 数、測定間隔を必ず保存する
検証: 決定的に確認できる性質と、統計的に確認する性質を分ける

関数境界や module 構成は、AI coding agent と相談して決めます。ただし、物理的な意味がある単位に分け、単に別名を付けるだけの wrapper は避けます。相談するときは、少なくとも次の責務がどこに入るかを確認します。

格子と周期境界条件
エネルギーと磁化の計算
1スピン反転のエネルギー差
Metropolis 更新
熱化、測定、統計量の集計
結果保存と metadata
Binder parameter と有限サイズスケーリング用の後処理

4. 決定的なユニットテスト

乱数を含むシミュレーションでも、乱数に依存しない部分は決定的にテストできます。ここではテスト項目を固定せず、AI coding agent と一緒に「どの小さい配置なら手計算できるか」「どの性質が実装ミスを見つけやすいか」を brainstorm します。

候補になる観点は次の通りです。

周期境界条件が正しく実装されているか。
小さい格子のエネルギーと磁化が手計算と一致するか。
1スピン反転のエネルギー差が、反転前後の全エネルギー差と一致するか。
Metropolis の採否判定が、エネルギーが下がる場合と上がる場合で正しいか。
固定 seed を使ったとき、短い実行の測定列が再現するか。

実際に cargo test に入れるのは、この中から選んだ少数の本質的なテストにします。境界条件、エネルギー差の符号、bond の二重数えはバグが入りやすいので、候補として必ず検討します。

5. 統計量の収束チェック

MCMC の結果は乱数を含むため、すべてを通常のユニットテストに押し込むと不安定になります。決定的なテストと、統計的なチェックを分けます。

小さい格子では全配置を列挙できます。小さいを選べば配置数がまだ扱えるので、厳密に

を計算できます。ここから、、、、、を求め、Metropolis の長時間平均と比較します。

このチェックは、通常の高速な unit test ではなく、#[ignore] を付けた統計テストや、演習用の検証スクリプトにするのが現実的です。どの、温度、seed 数、許容範囲にするかは、実行時間と揺らぎを見ながら AI coding agent と相談して決めます。複数 seed の平均と標準誤差を保存し、厳密値が誤差棒の範囲に入るかを確認します。確率的コードの自動テストを厳密に設計したい場合は、仮説検定を使う方法もあります。

6. 有限サイズスケーリング

実装後、など複数のサイズで温度走査を行います。まず粗い温度刻みで近傍を探し、次にから程度を細かく走査します。

保存した測定量から、次をプロットします。

: 低温で非ゼロ、高温でゼロへ向かう。
: 付近にピークを持つ。
: 付近にピークを持つ。
: 異なるの曲線が付近で交差する。

2次元イジング模型では相関長指数がなので、臨界領域では概念的に

と書けます。この演習では、厳密なスケーリング崩壊まで要求せず、Binder parameter の交差から転移点を見積もり、

と比較します。有限サイズ補正、熱化不足、測定間隔の不足、臨界点近傍の autocorrelation の増大が、交点のずれとして現れることも確認します。

発展的な問い

低温で十分長くないシミュレーションを行うと、がゼロにならないことがあります。これはハミルトニアンの対称性が消えたからではありません。有限時間の Markov chain が側または側の谷に長く留まり、符号反転をほとんど観測しないためです。熱力学極限では、二つの相の間を行き来する時間が非常に長くなり、実効的にエルゴード性が破れたように見えます。

発展課題として、低温やスピンガラスのような緩和しにくい系では、複数温度の replica を同時に走らせて配置を交換する replica exchange Monte Carlo（exchange Monte Carlo, parallel tempering）を調べるとよいでしょう。 Hukushima と Nemoto の exchange Monte Carlo は、この考え方をスピンガラスに適用した代表的な仕事です。

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