その他の格子模型

イジング模型はスピンが「上か下か」の2状態のみをとる単純なモデルでしたが、これを拡張することで様々な物理現象を記述できます。

ポッツ模型 (Potts Model)

イジング模型を「 個の状態をとるスピン」に拡張したものです。 各スピン は のいずれかの値を持ちます。 ハミルトニアンは以下のように定義されます（クロネッカーのデルタ を使用）。

つまり、隣り合うスピンが「同じ状態」であればエネルギーが下がり、「異なる状態」であればエネルギーは変化しません（あるいは高くなります）。

• のとき、イジング模型と等価になります。
• 以上では、相転移の次数が変化する（2次転移から1次転移へ）など、興味深い性質を示します。

XY模型

スピンが2次元ベクトル であるモデルです。 スピンは円周上の任意の角度 をとることができます（連続自由度）。

2次元XY模型は、通常の相転移とは異なるベレゾフスキー・コステリッツ・サウレス (BKT) 転移というトポロジカルな相転移を示すことで有名です（2016年ノーベル物理学賞）。

ハイゼンベルク模型

スピンが3次元ベクトル （単位ベクトル）であるモデルです。 現実の磁性体（鉄など）のモデルとして重要です。

Rustによる実装の工夫

これらの様々なモデルをRustで実装する場合、ジェネリクスやトレイトを活用すると効率的です。

trait LatticeModel {
    type Spin; // 状態の型 (i32, f64, Vector3など)
    
    // エネルギー計算
    fn calculate_energy(&self, s1: &Self::Spin, s2: &Self::Spin) -> f64;
    
    // スピン更新（メトロポリス法の試行）
    fn propose_update(&self, current: &Self::Spin) -> Self::Spin;
}

このように共通のインターフェースを定義しておけば、モンテカルロ法のメインループ（遷移判定など）を共通化し、モデル部分だけを差し替えてシミュレーションを行うことができます。 これはRustの強力な型システムの利点が活きる場面です。