量子力学シミュレーション

Important

この章を読む前に

この章を読むには、以下の章を先に読んでおく必要があります。

• 必須：線形代数（固有値問題）
• 必須：常微分方程式（時間発展）
• 推奨：フーリエ解析（スプリット演算子法で使用）

量子力学は、原子や分子、半導体デバイスなど、微細なスケールの世界を支配する物理法則です。 その中心となるシュレーディンガー方程式は、解析的に解ける場合が非常に限られているため、数値シミュレーションが不可欠な分野です。

本章では、量子力学の基本方程式をコンピュータ上で解くための手法を学び、いくつかの代表的な量子現象をシミュレーションします。

本章の構成

1. シュレーディンガー方程式の数値解法 連続的な波動関数を離散化し、ハミルトニアンを行列として表現する方法（差分法）を学びます。また、Rustにおける複素数の扱い方も紹介します。

2. 1次元束縛状態 時間的に変化しない定常状態（固有状態）を求める問題を扱います。井戸型ポテンシャルなどを例に、エネルギー準位の計算を行います。

3. 時間発展とスプリット演算子法 波動関数の時間変化を追跡するための手法（クランク・ニコルソン法、スプリット演算子法）について解説します。

4. 散乱問題とトンネル効果 ポテンシャル障壁に対する波束の衝突をシミュレーションし、量子力学特有の現象であるトンネル効果を観測します。

作業テーマ

作業ディレクトリは ~/rust-computational-physics-work/ からの相対パスです。 ユニットテストで確認する具体的なケースは、解析解、境界条件、許容誤差の観点からAI coding agentと相談して決めます。

検証と実装の観点

量子力学の数値計算では、複素数、境界条件、規格化、単位系を明示します。 固有値や時間発展の結果は、見た目だけでなく、norm、energy、residualで確認します。

• grid、potential、Hamiltonian、solver、出力処理を分けて実装する。
• 固有値問題では residual、時間発展では norm保存を確認する。
• grid spacing、time step、境界条件、初期波束、potential parameterをmetadataとして残す。
• agentに実装を任せた場合も、複素共役、正規化、境界条件の扱いをdiffで確認する。