統計力学シミュレーション
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統計力学は、原子や分子といったミクロな構成要素の振る舞いから、温度や圧力、磁化といったマクロな性質を導き出す学問です。 しかし、現実的な複雑さを持つ系において、理論的に厳密解が得られるケースは極めて稀です。
そこでコンピュータシミュレーションの出番となります。 特にマルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) を用いたスピン系のシミュレーションは、計算物理学の中で最も成功した分野の一つであり、相転移や臨界現象の理解に多大な貢献をしてきました。
本章では、統計力学モデルの代名詞である「イジング模型」を題材に、MCMCを用いたシミュレーション手法とその物理的背景を学びます。
本章の構成
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イジング模型の基礎 磁性体の簡易モデルであるイジング模型を定義し、統計力学の基本原理（ボルツマン分布）との関係を確認します。
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メトロポリス法 MCMCの代表的なアルゴリズムであるメトロポリス法を用いて、2次元イジング模型をRustで実装します。
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相転移とクリティカル現象 温度変化に伴う磁化の発生（自発的対称性の破れ）や比熱の発散といった、相転移現象をシミュレーションで再現・観測します。
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2D Ising実践演習 2次元イジング模型について、厳密解ノート、PLAN、実装、チェック、有限サイズスケーリングを一つの演習として進めます。
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その他の格子模型 イジング模型を拡張したポッツ模型やXY模型など、より多様な物理現象を記述するモデルについて概観します。
作業テーマ
作業ディレクトリは ~/rust-computational-physics-work/ からの相対パスです。
ユニットテストで確認する具体的なケースは、解析解、境界条件、許容誤差の観点からAI coding agentと相談して決めます。
| テーマ | 作業ディレクトリ | 構造化するコード | ユニットテスト演習 | 拡張演習 |
|---|---|---|---|---|
| イジング模型の基礎 | statistical-mechanics/ising-basics | idx, neighbor, energy, magnetization | 小さい格子でエネルギーと磁化を手計算と比較する | 周期境界条件を切り替えられる形にする |
| メトロポリス法 | statistical-mechanics/metropolis | delta_energy_flip, accept, sweep, measure | 局所エネルギー差と全エネルギー再計算を比較する | 熱化と測定間隔をmetadataに保存する |
| 相転移 | statistical-mechanics/phase-transition | temperature_scan, susceptibility, specific_heat | 固定seedで測定量の再現性を確認する | 温度走査結果をCSVに出力する |
| 2D Ising総合演習 | statistical-mechanics/ising-exercise | 格子、更新、測定、保存、有限サイズスケーリングを相談して分ける | 決定的に確認できる性質と小さい格子の統計チェックをAI coding agentと選ぶ | Binder parameterの交差から転移点を推定し、厳密解と比較する |
| その他の格子模型 | statistical-mechanics/other-models | potts_energy, xy_energy, local_update | 小さい格子で相互作用エネルギーを確認する | model enumで複数模型を切り替える |
検証と実装の観点
統計力学シミュレーションでは、乱数、熱化、測定間隔、有限サイズ効果を明示します。 MCMC一般では burn-in という語も使われますが、統計物理の文脈では thermalization（熱化）と呼ぶのが一般的です。 1回のrunだけで結論を出さず、seed、格子サイズ、温度、測定回数を結果と一緒に保存します。
- 格子、model、更新アルゴリズム、測定、入出力をmoduleで分ける。
- 小さい格子で局所更新量と全エネルギー再計算を比較する。
- 熱化、sampling interval、autocorrelation、誤差棒を確認する。
- agentに実装を任せた場合も、周期境界条件と
delta_energy_flipの符号を重点的に確認する。 - 2D Isingの総合演習では、note、PLAN、実装、チェックの順に進み、Binder parameterで有限サイズスケーリングを確認する。